Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). В большинстве случаев стороны обозначают малеханькими знаками, надлежащими большим буковкам, которыми обозначают обратные верхушки. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, аксиомой, которая определяет, чему приравнивается сумма углов треугольника.

Виды по величине углов

Различают последующие виды многоугольника с 3-мя верхушками:

• остроугольный, у которого все углы острые;
• прямоугольный, имеющий один прямой угол, при всем этом стороны, его образующие, именуют катетами, а сторона, которая расположена обратно прямому углу, называется гипотенузой;
• тупоугольный, когда один угол тупой;
• равнобедренный, у которого две стороны равные, и именуются они боковыми, а 3-я – основанием треугольника;
• равносторонний, имеющий все три равные стороны.

Характеристики

Выделяют главные характеристики, которые свойственны для каждого вида треугольника:

• напротив большей стороны всегда размещается больший угол, и напротив;
• напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и напротив;
• у хоть какого треугольника есть два острых угла;
• наружный угол больше по сопоставлению с хоть каким внутренним углом, не смежным с ним;
• сумма каких-то 2-ух углов всегда меньше 180 градусов;
• наружный угол приравнивается сумме других 2-ух углов, которые не межуют с ним.

Аксиома о сумме углов треугольника

Аксиома утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая размещена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем обосновать данную аксиому.

Пускай у нас есть случайный треугольник с верхушками КМН. Через верхушку М проведем прямую параллельно прямой КН (еще эту прямую именуют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким макаром, чтобы точки К и А были размещены с различных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и создаются секущей МН вместе с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при верхушках М и Н, приравнивается размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Так как данные углы являются внутренними однобокими относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Аксиома подтверждена.

Следствие

Из выше доказанной аксиомы вытекает последующее следствие: хоть какой треугольник имеет два острых угла. Чтоб это обосновать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно представить, что ни один из углов не является острым. В данном случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна либо больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такового быть не может, так как согласно аксиоме сумма углов треугольника равна 180° — не больше и не меньше. Вот это и необходимо было обосновать.

Свойство наружных углов

Чему равна сумма углов треугольника, которые являются наружными? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из 2-ух методов. 1-ый состоит в том, что нужно отыскать сумму углов, которые взяты по одному при каждой верхушке, другими словами 3-х углов. 2-ой предполагает, что необходимо отыскать сумму всех 6 углов при верхушках. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит 6 наружных углов – при каждой верхушке по два. Любая пара имеет равные меж собой углы, так как они являются вертикальными:

L1 = L4, L2 = L5, L3 = L6.

Не считая этого, понятно, что наружный угол у треугольника приравнивается сумме 2-ух внутренних, которые не межуются с ним. Как следует,

L1 = LА + LС, L2 = LА + LВ, L3 = LВ + LС.

Из этого выходит, что сумма наружных углов, которые взяты по одному около каждой верхушки, будет равна:

L1 + L2 + L3 = LА + LС + LА + LВ + LВ + LС = 2 х (LА + LВ + LС).

С учетом того, что сумма углов приравнивается 180 градусам, можно утверждать, что LА + LВ + LС = 180°. А это означает, что L1 + L2 + L3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется 2-ой вариант, то сумма 6 углов будет, соответственно, большей вдвое. Другими словами сумма наружных углов треугольника будет составлять:

L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 = 2 х (L1 + L2 + L2) = 720°.

Прямоугольный треугольник

Чему приравнивается сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся наточенными? Ответ на этот вопрос, снова же, вытекает из аксиомы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость. Пускай нам дан треугольник КМН, у которого LН = 90°. Нужно обосновать, что LК + LМ = 90°.

Итак, согласно аксиоме о сумме углов LК + LМ + LН = 180°. В нашем условии сказано, что LН = 90°. Вот и выходит, LК + LМ + 90° = 180°. Другими словами LК + LМ = 180° — 90° = 90°. Конкретно это нам и следовало обосновать.

В дополнение к вышеперечисленным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:

• углы, которые лежат против катетов, являются наточенными;
• гипотенуза треугольна больше хоть какого из катетов;
• сумма катетов больше гипотенузы;
• катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, вдвое меньше гипотенузы, другими словами приравнивается ее половине.

Как очередное свойство данной геометрической фигуры можно выделить аксиому Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов приравнивается квадрату гипотенузы.

Сумма углов равнобедренного треугольника

Ранее мы гласили, что равнобедренным именуют многоугольник с 3-мя верхушками, содержащий две равные стороны. Понятно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.

Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН – его основание. От нас требуется обосновать, что LК = LН. Итак, допустим, что МА – это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А конкретно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, L1 = L2, так как МА – это биссектриса. Используя факт равенства этих 2-ух треугольников, можно утверждать, что LК = LН. Означает, аксиома подтверждена.

Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Так как тут у него нет собственных особенностей, будем отталкиваться от аксиомы, рассмотренной ранее. Другими словами мы можем утверждать, что LК + LМ + LН = 180°, либо 2 х LК + LМ = 180° (так как LК = LН). Данное свойство обосновывать не будем, так как сама аксиома о сумме углов треугольника была подтверждена ранее.

Не считая рассмотренных параметров об углах треугольника, имеют место и такие важные утверждения:

• в равнобедренном треугольнике высота, которая была опущена на основание, является сразу медианой, биссектрисой угла, который находится меж равными сторонами, также осью симметрии его основания;
• медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам таковой геометрической фигуры, равны.

Равносторонний треугольник

Его еще именуют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А потому равны также и углы. Любой из их составляет 60 градусов. Докажем это свойство.

Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам понятно, что КМ = НМ = КН. А это означает, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, LК = LМ = LН. Так как согласно аксиоме сумма углов треугольника LК + LМ + LН = 180°, то 3 х LК = 180° либо LК = 60°, LМ = 60°, LН = 60°. Таким макаром, утверждение подтверждено.Как видно из выше приведенного подтверждения на основании аксиомы, сумма углов равностороннего треугольника, как и сумма углов хоть какого другого треугольника, составляет 180 градусов. Опять обосновывать эту аксиому нет необходимости.

Есть еще такие характеристики, соответствующие для равностороннего треугольника:

• медиана, биссектриса, высота в таковой геометрической фигуре совпадают, а их длина рассчитывается как (а х √3) : 2;
• если обрисовать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
• если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
• площадь этой геометрической фигуры рассчитывается по формуле: (а2 х √3) : 4.

Тупоугольный треугольник

Согласно определению тупоугольного треугольника, один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но беря во внимание то, что два других угла данной геометрической фигуры острые, можно прийти к выводу, что они не превосходят 90 градусов. Как следует, аксиома о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Выходит, мы смело можем утверждать, делая упор на вышеупомянутую аксиому, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная аксиома не нуждается в повторном подтверждении.