Изучая явления природы, решая различные задачки по экономике, биологии, физике, технике, не всегда есть возможность конкретно установить прямую связь меж некоторыми значениями, которые обрисовывают тот либо другой эволюционный процесс. Обычно, можно найти связь меж этими величинами (функциями) и скоростью их конфигурации по отношению к другим (независящим) переменным. При всем этом появляются уравнения, в каких неведомые функции стоят под знаком производной — это дифференциальные уравнения. На их исследование издержали много времени огромное количество узнаваемых ученых: Ньютон, Бернулли, Лаплас и другие. Применение дифференциальных уравнений достаточно обширно: в моделях экономической динамики, где показываются не только лишь зависимость переменных во времени, да и их связь с течением времени, в задачках микро- и макроэкономики; с помощью их обрисовывают распространение электрических и термических волн и различные эволюционные явления, которые происходят в живой и неживой природе.

С помощью электрических волн передается информация на расстоянии (телевидение, телефон, радио и тому схожее). Современная макроэкономика обширно употребляет дифференциальные и разностные уравнения. К примеру, в макроэкономике употребляется так называемое основное ДУ неоклассической теории экономического роста. Дифференциальные уравнения также используются в биологии, химии, автоматике и других особых дисциплинах. На рисунке показан график функции, которая используется при рассмотрении увеличения роста населения. Эту задачку решают при помощи ДУ.

Итак, сейчас побольше теории. Обыденным дифференциальным уравнением именуют нетождественные соотношение меж разыскиваемой функцией Y с одним независящим аргументом Х, самой независящей переменной Х и производными разыскиваемой функции некого порядка. Существует огромное количество видов дифференциальных уравнений, подробнее о которых дальше в статье.

Дифференциальные уравнения бывают:

1) Обыденные уравнения І-го порядка, которые интегрируются в квадратах. Эти, в свою очередь, делятся на: дифференциальные уравнения с отделяемыми переменными; ДУ с разделенными переменными; однородные ДУ; линейные ДУ; уравнения в полных дифференциалах.

2) ДУ высших порядков.

3) Линейные ДУ ІІ-го порядка, которые бывают линейными однородными ДУ ІІ-го порядка с неизменными коэффициентами и линейными неоднородными ДУ с неизменными коэффициентами.

Решаются ДУ также несколькими методами, более всераспространенные из которых — задачка Коши, способы Эйлера и Бернулли и остальные.

В почти всех задачках экономики, арифметики, техники нужно рассчитать некоторое количество функций, связанных меж собой неким количеством ДУ. Тогда нам на помощь приходят системы дифференциальных уравнений: совокупа уравнений, в каждое из которых входят независящая переменная, функции этой независящей и их производные.

Если система линейна относительно неведомых функций, то она именуется линейной системой дифференциальных уравнений. Нормальную систему дифференциальных уравнений можно поменять одним ДУ, порядок которого равен количеству уравнений системы.

Преобразование системы ДУ к одному уравнению в неких случаях совершается с помощью способа исключения.

Кроме всего перечисленного выше, есть и линейные системы с постоянными коэффициентами, которые просто решаются по способу Эйлера.