Задачки, которые приводят к понятию «двойной интеграл».

1. Пусть в плоскости задана плоская вещественная пластинка, в каждой точке которой известна плотность. Необходимо отыскать массу этой пластинки. Потому что данная пластинка имеет точные размеры, то она может быть заключена в прямоугольник. Плотность пластинки можно осознавать к тому же так: в тех точках прямоугольника, которые не принадлежат пластинке, будем считать, что плотность равна нулю. Зададим равномерное разбитие на однообразное количество частиц. Таким макаром, данная фигура будет разбита на простые прямоугольники. Разглядим один из таких прямоугольников. Выберем всякую точку данного прямоугольника. В силу малости размеров такового прямоугольника будем считать, что плотность в каждой точке данного прямоугольника является величиной неизменной. Тогда масса таковой прямоугольной частицы, будет определяться как умножение плотности в этой точке на площадь прямоугольника. Площадь, как понятно, это умножение длины прямоугольника на ширину. А на координатной плоскости – это изменение с неким шагом. Тогда масса всей пластинки составит сумму масс таких прямоугольников. Если в таком соотношении перейти к границе, тогда можно получить четкое соотношение.
2. Зададим пространственное тело, которое ограничено началом координат и некой функцией. Необходимо отыскать объем обозначенного тела. Как и в прошлом случае, разобьем область на прямоугольники. Будем считать, что в точках, которые не принадлежат области, функция будет равна 0. Разглядим одно из прямоугольных разбитий. Через стороны данного прямоугольника проведем плоскости, которые перпендикулярны к осям абсцисс и ординат. Получим параллелепипед, который снизу ограничен плоскостью относительно оси аппликат, а сверху той функцией, которая была задана в условии задачки. Выберем посреди прямоугольника точку. В силу малости размеров данного прямоугольника можно считать, что функция в рамках этого прямоугольника имеет неизменное значение, и тогда можно высчитать объем прямоугольника. А объем фигуры будет равен суммам всех объемов таких прямоугольников. Чтоб получить четкое значение, нужно перейти к границе.

Как видно из намеченных целей, в каждом примере приходим к выводу, что различные задачки приводят к рассмотрению двойных сумм схожего вида.

Характеристики двойного интеграла.

Поставим задачку. Пусть в некой замкнутой области задана функция 2-ух переменных, при чем данная функция непрерывная. Потому что область ограничена, то можно поместить ее в хоть какой прямоугольник, который на сто процентов содержит внутри себя характеристики точки данной области. Разобьем прямоугольник на равные части. Назовем поперечником разбития наибольшую диагональ из получившихся прямоугольников. Выберем сейчас в границах 1-го такового прямоугольника точку. Если отыскать значение в этой точке сложить сумму, тогда такая сумма будет называться интегральной для функции в данной области. Найдем границу таковой интегральной суммы, при критериях, что поперечник разбития следует к 0, а количество прямоугольников – к бесконечности. Если такая граница существует и не находится в зависимости от метода разбития области на прямоугольники и от выбора точки, тогда она именуется – двойной интеграл.

Геометрическое содержание двойного интеграла: двойной интеграл числительно равен объему тела, которое было описано в задачке 2.

Зная двойной интеграл (определение), можно установить последующие характеристики:

1. Постоянную можно выносить за символ интеграла.
2. Интеграл суммы (различия) равен сумме (разнице) интегралов.
3. Из функций меньше будет та, двойной интеграл которой меньше.
4. Модуль можно заносить под символ двойного интеграла.