Ещё арифметики старого Китая использовали в собственных вычислениях запись в виде таблиц с определённым количеством строк и столбцов. Тогда подобные математические объекты именовались как «чудесные квадраты». Хотя известны и случаи использования таблиц в виде треугольников, которые так и не получили широкого распространения.

На сегодня под математической матрицей принято осознавать объёкт прямоугольной формы с данным количеством столбцов и знаков, которые и определяют размеры матрицы. В арифметике такая форма записи отыскала обширное применение для записи в малогабаритном виде систем дифференциальных, также линейных алгебраических уравнений. Принято, что количество строк в матрице равно числу присутствующих в системе уравнений, количеству столбцов соответствует, сколько неведомых нужно найти в процессе решения системы.

Не считая того, что сама по для себя матрица в процессе её решения приводит к нахождению неведомых, заложенных в условие системы уравнений, существует ряд алгебраических операций, которые допускается производить над данным математическим объектом. Этот список содержит в себе сложение матриц, имеющих однообразные размеры. Умножение матриц с подходящими размерами (можно перемножить только матрицу, с одной стороны имеющую количество столбцов, равное количеству строк у матрицы с другой стороны). Также допускается множить матрицу на вектор, либо на элемент поля либо основного кольца (по другому скаляр).

Рассматривая умножение матриц, следует пристально смотреть, чтоб количество столбцов первой строго соответствовало числу строк 2-ой. По другому данное действе над матрицами будет не определено. Согласно правилу, по которому осуществляется умножение матрицы на матрицу, каждый элемент в новейшей матрице равняется к сумме произведений соответственных частей из строк первой матрицы на элементы, взятые из столбцов другой.

Для наглядности разглядим пример, как происходит умножение матриц. Берём матрицу A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

умножаем её на матрицу B

3 -2

1 0

4 -3.

Элемент первой строчки первого столбца результирующей матрицы равен 2*3+3*1+(-2)*4. Соответственно, в первой строке во 2-м столбце будет элемент равный 2*(-2)+3*0+(-2)*(-3), и т.д. до наполнения каждого элемента новейшей матрицы. Правило умножения матриц подразумевает, что результатом произведения матрицы с параметрами m x n на матрицу, имеющую соотношение n x k, станет таблица, которая обладает размерами m x k. Следуя этому правилу, можно прийти к выводу, что произведение так именуемых квадратных матриц соответственно 1-го порядка всегда определено.

Из параметров, которыми обладает умножение матриц, следует выделить в качестве 1-го из главных то, что эта операция не является коммутативной. Другими словами произведение матрицы M на N не равно произведению N на M. Если в квадратных матрицах 1-го порядка наблюдается, что их прямое и оборотное произведения всегда определены, отличаясь только результатом, то для прямоугольных матриц схожее условие определенности не всегда производится.

У умножения матриц существует ряд параметров, которые имеют чёткие математические подтверждения. Ассоциативность умножения предполагает верность последующего математического выражения: (MN)K=M(NK), где M,N, и K – матрицы, имеющие характеристики, при которых умножение определено. Дистрибутивность умножения подразумевает, что M(N+K)= MN+MK, (M+N)K= MK+NK, L(MN)= (LM)N+ M(LN), где L – число.

Следствием из характеристики умножения матриц, называемого «ассоциативность», следует, что в произведении, содержащем от трёх и больше сомножителей, допускается запись без использования скобок.

Внедрение характеристики дистрибутивности даёт возможность открывать скобки при рассмотрении матричных выражений. Обращаем внимание, если мы раскрываем скобки, то необходимо сохранять порядок сомножителей.

Внедрение матричных выражений позволяет не только лишь компактно создавать запись массивных систем уравнений, да и упрощает процесс их обработки и решения.