Способ Крамера – это один из четких способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Точность его обоснована внедрением определителей матрицы системы, также некими ограничениями, накладываемыми в процессе подтверждения аксиомы. 

Системой линейных алгебраических уравнений с коэффициентами, принадлежащими, к примеру, огромному количеству R – реальных чисел, от неведомых x1, x2 ,…, xn именуют набор выражений вида

ai2 x1+ai2 x2 +… ain xn =bi при i=1, 2, … ,m, (1)

где aij, bi – действительные числа. Каждое из этих выражений именуется линейным уравнением, aij – коэффициентами при неведомых, bi – свободными коэффициентами уравнений.

Решением системы (1) именуют n-мерный вектор x° = (x1°, x2°,…, xn°), при подстановке которого в систему заместо неведомых x1, x2 ,…, xn любая из строк в системе становится верным равенством.

Система именуется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной, если ее огромное количество решений совпадает с пустым обилием.

Нужно держать в голове, что для того, чтоб отыскать решение систем линейных алгебраических уравнений, используя способ Крамера, матрицы систем должны быть квадратными, что на самом деле значит однообразное количество неведомых и уравнений в системе.

Итак, чтоб использовать способ Крамера, нужно как минимум знать, что такое матрица систем линейных алгебраических уравнений и как она выписывается. А во-2-х, осознавать, что именуют определителем матрицы и обладать способностями его вычисления.

Представим, что этими познаниями вы владеете. Замечательно! Тогда вам остается всего только уяснить формулы, определяющие способ Крамера. Для упрощения запоминания воспользуемся последующими обозначениями:

• Det – главный определитель матрицы системы;

• deti – это определитель матрицы, приобретенной из основной матрицы системы, если поменять i-й столбец матрицы на вектор-столбец, элементами которого являются правые части систем линейных алгебраических уравнений;

• n – количество неведомых и уравнений в системе.

Тогда правило Крамера вычисления i-й составляющие xi (i=1,..n) n-мерного вектора x можно записать в виде

xi = deti/ Det, (2).

При всем этом Det строго отличен от нуля.

Единственность решения системы при ее совместности обеспечивает условие неравенства нулю головного определителя системы. В неприятном случае, если сумма (xi), возведенных в квадрат, строго положительна, то СЛАУ с квадратной матрицей будет несовместной. Это может произойти, а именно, когда, по последней мере, один из deti отличен от нуля.

Пример 1. Решить трехмерную систему ЛАУ, используя формулы Крамера.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 – x2 + x3 =10.

Решение. Выпишем матрицу системы построчно, где Ai – это i -я строчка матрицы.
A1=(1 2 4), A2=(5 1 2), A3=(3 –1 1).
Столбец свободных коэффициентов b=(31 29 10).

Главный определитель Det системы равен
Det= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a32 a23 – a33 a21 a12 = 1 – 20 + 12 – 12 + 2 – 10 = –27.

Для вычисления det1 используем подстановку a11= b1, a21 = b2, a31 = b3. Тогда
det1= b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 – a13 a22 b3 – b1 a32 a23 – a33 b2 a12 =…= –81.

Аналогично, для вычисления det2 используем подстановку a12= b1, a22 = b2, a32 = b3 и, соответственно, для вычисления det3 – a13= b1, a23 = b2, a33 = b3.
Тогда сможете проверить, что det2 = –108, а det3 = – 135.
Согласно формулам Крамера находим x1 = -81/(-27) = 3, x2 = -108/(-27) = 4, x3 = -135/(-27) = 5.

Ответ: x°=(3,4,5).

Делая упор на условия применимости данного правила, способ Крамера решения систем линейных уравнений можно использовать опосредованно, к примеру, с целью изучить систему на вероятное число решений зависимо от величины некого параметра k.

Пример 2. Найти, при каких значениях параметра k неравенство |kx – y – 4|+|x + ky + 4|<=0 имеет ровно одно решение.

Решение.
Данное неравенство в силу определения модуля функции может быть выполнено, только если оба выражения сразу равны нулю. Потому эта задачка сводится к нахождению решения линейной системы алгебраических уравнений

kx – y = 4,
x + ky = –4.

Решение данной системы единственное, если ее главный определитель
Det = k^{2} + 1 отличен от нуля. Разумеется, что это условие производится для всех реальных значений параметра k.

Ответ: для всех реальных значений параметра k.

К задачкам данного вида также могут быть сведены многие практические задачки из области арифметики, физики либо химии.