Производной некой функции f(x) в определенной точке x0 именуют границу соотношения прироста функции к приросту аргумента при условии, что x следует к 0, а граница существует. Производную обычно обозначают штрихом, время от времени при помощи точки или через дифференциал. Часто запись производно через границу приводит в заблуждение, потому что такое представление употребляется очень изредка.

Функцию, которая имеет производную в определенной точке x0, принято именовать дифференцируемой в таковой точке. Представим, D1 — огромное количество точек, в каких функция f дифференцирована. Поставив в соответствие каждому числу число x, принадлежащее D f’(x), получим функцию с областью обозначения D1. Эта функция является производной y=f(x). Ее обозначают так: f’(x).

Не считая того, производная обширно употребляется в физике и технике. Разглядим самый обычной пример. Вещественная точка двигается по координатной прямо, при чем задан закон движения, другими словами координатой x этой точки является популярная функция x(t). В протяжении интервала времени от t0 до t0+t перемещение точки приравнивается x(t0+t)-x(t0)= x, а ее средняя скорость v(t) равна x/t.

Время от времени нрав движения представлен так, что при малых отрезках времени средняя скорость не меняется, имеется в виду то, что движение с большей степенью точности считается равномерным. Либо же значение средней скорости, если t0 следует к некому полностью четкому значению, которое и именуют мгновенной скоростью v(t0) этой точки в определенный момент времени t0. Считается, что мгновенная скорость v(t) известна для хоть какой дифференцированной функции x(t), при чём v(t) будет равно x’(t). Проще говоря, скорость – это производная от координаты по времени.

Мгновенная скорость имеет и положительные, и отрицательные значения, также значение 0. Если же она на неком интервале времени (t1; t2) положительная, тогда точка движется в таком же направлении, другими словами координата x(t) возрастает с течением времени, а если v(t) отрицательная, тогда координата x(t) миниатюризируется.

В более сложных случаях точка движется в плоскости либо в пространстве. Тогда скорость – векторная величина и определяет каждую из координат вектора v(t).

Аналогично можно сравнить с ускорением движения точки. Скорость является функцией от времени, другими словами v=v(t). А производная таковой функции — ускорением движения: a=v’(t). Другими словами выходит, что производная от скорости по времени является ускорением.

Представим y=f(x) — неважно какая дифференцированная функция. Тогда можно разглядеть движение вещественной точки по координатной прямой, которое происходит за законом x=f(t). Механическое содержание производной дает возможность представить приятную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.

Как отыскать производную? Нахождение производной некой функции именуется ее дифференцированием.

Наведем примеры того, как отыскать производную функцию:

Производная неизменной функции равна нулю; производная функции y=x равна единице.

Как отыскать производную дроби? Для этого разглядим последующий материал:

При любом x0<>0 будем иметь

y/x=-1/x0*(x+x)

Существует несколько правил, как отыскать производную. А конкретно:

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их сумма дифференцирована в точке: (A+B)’=A’+B’. Проще говоря, производная суммы равна сумме производных. Если функция дифференцирована в некой точке, тогда ее прирост следует к нулю при следовании к нулю прироста аргумента.

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их произведение дифференцировано в точке: (A*B)’=A’B+AB’. (Значения функций и их производных рассчитываются в точке x0). Если функция A(x) дифференцирована в точке x0, а С – неизменная, тогда функция CA дифференцирована в этой точке и (CA)’=CA’. Другими словами, таковой неизменный множитель выносится за символ производной.

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, и функция B не равна нулю, то их соотношение так же дифференцировано в точке: (A/B)’=(A’B-AB’)/B*B.