Дана простая функция тригонометрии у = Sin(х), она дифференцируема в каждой собственной точке из всей области определения. Нужно обосновать, что производная синуса хоть какого аргумента равна косинусу такого же угла, другими словами у’ = Cos(х).

Подтверждение основывается на определении производной функции

Зададим х (случайное) в некой малой округи Δх определенной точки х₀. Покажем значение функции в ней и в точке х, чтоб отыскать приращение данной функции. Если Δх ? приращение аргумента, то новый аргумент — это х₀+Δx = х, значение данной функции при данном значении аргумента у(х) равно Sin(х₀+Δx), значение функции в определенной точке у(х₀) тоже понятно.

Сейчас имеем Δу= Sin(х₀+Δх)-Sin(х₀) ? приобретенное приращение функции.

По формуле синуса суммы 2-ух неодинаковых углов будем преобразовывать разность Δу.

Δу = Sin(х₀)·Cos(Δх)+Cos(х₀)·Sin(Δx) минус Sin(х₀) = (Cos(Δx)-1)·Sin(х₀)+Cos(х₀)·Sin(Δх).

Выполнили перестановку слагаемых, сгруппировали 1-ое с третьим Sin(х₀), вынесли общий множитель — синус — за скобки. Получили в выражении разность Cos(Δх)-1. Осталось поменять символ перед скобкой и в скобках. Зная, чему равно 1-Cos(Δх), создадим подмену и получим облегченное выражение Δу, которое потом разделим на Δх.
Δу/Δх будет иметь вид: Cos(х₀)·Sin(Δх)/Δх-2·Sin²(0,5·Δх)·Sin(х₀)/Δх. Это и есть отношение приращения функции к допущенному приращению аргумента.

Осталось отыскать предел приобретенного нами дела lim при Δх, стремящегося к нулю.

Понятно, что предел Sin(Δх)/Δx равен 1, при данном условии. А выражение 2·Sin²(0,5·Δх)/Δх в приобретенном личном подведем преобразованиями к произведению, содержащему в качестве множителя 1-ый превосходный предел: числитель и знеменатель дроби разделим на 2, квадрат синуса заменим произведением. Вот так:
(Sin(0,5·Δx)/(0,5· Δx))·Sin(Δx/2).
Предел этого выражения при Δх, стремящемся к нулю, будет равен числу ноль (1 помножить на 0). Выходит, что предел дела Δy/Δх равен Cos(х₀)·1-0, это и есть Cos(х₀), выражение, которое не находится в зависимости от Δх, стремящегося к 0. Отсюда следует вывод: производная синуса хоть какого угла х равна косинусу х, запишем так: у’ = Cos(х).

Приобретенная формула занесена в известную таблицу производных, где собраны все простые функции

При решении задач, где встречается производная синуса, можно воспользоваться правилами дифференцирования и готовыми формулами из таблицы. К примеру: отыскать производную простейшей функции у=3·Sin(х)-15. Воспользуемся простыми правилами дифференцирования, выноса числового множителя за символ производной, и вычисления производной неизменного числа (она равна нулю). Применим табличное значение производной синуса угла х, равное Cos(х). Получаем ответ: y’ = 3·Cos(x)-O. Эта производная, в свою очередь, тоже является простой функцией у = З·Cos(х).

Производная синуса в квадрате от хоть какого аргумента

При вычислении данного выражения (Sin²(х))’ нужно вспомнить, как дифференцируется непростая функция. Итак, у = Sin²(х) ? является степенной функцией, потому что синус в квадрате. Аргументом ее является тоже тригонометрическая функция, непростой аргумент. Итог в данном случае равен произведению, 1-ый множитель которого производная квадрата данного сложного аргумента, а 2-ой ? производная от синуса. Ах так смотрится правило дифференцирования функции от функции: (u(v(х)))’ равна (u(v(х)))’·(v(х))’. Выражение v(х) ? непростой аргумент (внутренняя функция). Если дана функция «игрек равен синусу в квадрате х», то производная этой сложной функции будет у’ = 2·Sin(х)·Cos(x). В произведении 1-ый двойной множитель ? производная известной степенной функции, а Cos(х) ? производная синуса, аргумента сложной квадратичной функции. Окончательный итог можно конвертировать, воспользовавшись тригонометрической формулой синуса двойного угла. Ответ: производная равна Sin(2·x). Эта формула просто запоминается, ею нередко пользуются как табличной.