Изучающим высшую арифметику должно быть понятно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и бескрайнее число раз дифференцированная функция. Появляется вопрос: можно ли утверждать, что данная случайная функция f(х) — это сумма некоего степенного ряда? Другими словами при каких критериях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Значимость такового вопроса заключается в том, что существует возможность приближенно поменять ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, другими словами многочленом. Такая подмена функции достаточно обычным выражением — многочленом — является комфортной и при решении неких задач математического анализа, а конкретно: при решении интегралов, при вычислении дифференциальных уравнений и т. д.

Подтверждено, что для некоторой ф-ии f(х), в какой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в округи (α — R; x₀ + R) некой точки х = α справедливой является формула:

Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предшествующего, именуется ряд Маклорена:

Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:

1. Найти производные первого, второго, третьего… порядков.
2. Рассчитать, чему равны производные в х=0.
3. Записать ряд Маклорена для данной функции, после этого найти интервал его сходимости.
4. Найти интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена

R_n(х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если такой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.

Разглядим сейчас ряды Маклорена для отдельных функций.

1. Итак, первой будет f(x) = е^х. Очевидно, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых различных порядков, при этом f^(k)(х) = e^x, где k приравнивается всем натуральным числам. Подставим х=0. Получим f^(k)(0) = e⁰=1, k=1,2… Исходя из вышесказанного, ряд е^х будет смотреться последующим образом:

2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу уточним, что ф-ия для всех неведомых будет иметь производные, к тому же f^‘(х) = cos х = sin(х+п/2), f^»(х) = -sin х = sin(х+2*п/2)…, f^(k)(х) = sin(х+k*п/2), где k приравнивается хоть какому натуральному числу. Другими словами, произведя легкие расчеты, можем сделать вывод, что ряд для f(х) = sin х будет такового вида:

3. Сейчас попробуем разглядеть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неведомых имеет производные случайного порядка, при этом |f^(k)(x)| = |cos(х+k*п/2)|<=1, k=1,2… Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет смотреться так:

Итак, мы перечислили важные функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, но их дополняют ряды Тейлора для неких функций. На данный момент мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются принципиальной частью практикума решения рядов в высшей арифметике. Итак, ряды Тейлора.

1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в прошлых примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя вид ряда Маклорена. но для этой функции ряд Маклорена можно получить существенно проще. Проинтегрировав некоторый геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такового эталона:

2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:

На этом все. В данной статье подверглись рассмотрению более употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей арифметике, а именно, в экономических и технических университетах.