Существует несколько определений понятия «теория чисел». Одно из их говорит, что это особый раздел арифметики (либо высшей математики), которая тщательно изучает целые числа и объекты, схожие с ними.

Другое определение уточняет, что этот раздел арифметики изучает характеристики чисел и их поведение в разных ситуациях.

Некие ученые считают, что теория так пространна, что дать ее четкое определение нереально, а довольно только поделить на несколько наименее больших теорий.

Установить достоверно, когда зародилась теория чисел, не представляется вероятным. Но точно установлено: на сей день древним, но не единственным документом, свидетельствующим об интересе старых к теории чисел, является маленькой осколок глиняной таблички 1800 годов до нашей эпохи. В нем — целый ряд так именуемых Пифагоровых троек (натуральных чисел), многие из которых состоят из 5 символов. Неограниченное количество таких троек исключает их механический подбор. Это свидетельствует о том, что энтузиазм к теории чисел появился, видимо, намного ранее, чем вначале подразумевали ученые.

Самыми видными лицами в разработке теории числятся пифагорейцы Евклид и Диофант, жившие в Средние века индийцы Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскары, а еще позднее — Ферма, Эйлер, Лагранж.

Сначала ХХ века теория чисел заинтересовала таких математических гениев, как А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв, А. А. Марков, Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, И. М. Виноградов, Г.Вейль, А. Сельберг.

Разрабатывая и углубляя выкладки и исследования старых математиков, они вывели теорию на новый, существенно более высочайший уровень, обхватывающий огромное количество областей. Глубочайшие исследования и поиски новых доказательств привели и к открытию новых заморочек, некие из которых не исследованы до сего времени. Открытыми остаются: догадка Артина о бесконечности огромного количества обычных чисел, вопрос о бесконечности количества обычных чисел, огромное количество других теорий.

На сей день основными составляющими, на которые делится теория чисел, являются теории: простая, огромных чисел, случайных чисел, аналитическая, алгебраическая.

Простая теория чисел занимается исследованием целых чисел, не привлекая способы и понятия из других разделов арифметики. Числа Фибоначчи, малая аксиома Ферма, — вот самые всераспространенные, известные даже школьникам понятия из этой теории.

Теория огромных чисел (либо Закон огромных чисел) — подраздел теории вероятностей, стремящийся обосновать, что среднее арифметическое (по другому — среднее эмпирическое) большой подборки приближается к математическому ожиданию (которое еще именуют теоретическим средним) этой подборки при условии фиксированного рассредотачивания.

Теория случайных чисел, разделяя все действия на неопределенные, детерминированные и случайные, пробует найти по вероятности обычных событий возможность сложных. В этот раздел входят характеристики условных вероятностей и аксиома их умножения, Аксиома гипотез (которую нередко именуют формулой Байеса) и пр.

Аналитическая теория чисел, как это понятно из ее наименования, для исследования математических величин и числовых параметров применяет способы и приемы математического анализа. Одно из основных направлений этой теории — подтверждение аксиомы (с помощью всеохватывающего анализа) о рассредотачивании обычных чисел.

Алгебраическая теория чисел работает конкретно с числами, их аналогами (к примеру, алгебраическими числами), изучает теорию дивизоров, когомологии групп, функции Дирихле и т.п.

К возникновению и развитию этой теории привели многолетние пробы обосновать аксиому Ферма.

До ХХ века теория чисел числилась отвлеченной наукой, «незапятнанным искусством от арифметики», не имеющим полностью никакого практического либо утилитарного внедрения. Сейчас ее выкладки употребляют в криптографических протоколах, при расчете траекторий спутников и галлактических зондов, в программировании. Экономика, деньги, информатика, геология — все эти науки сейчас невозможны без теории чисел.